过点(3,1)作互相垂直的两条直线L1,L2,设直线L1交X轴于点M,直线L2交Y轴于点N,求线段MN中点R的轨迹方程.

Question

过点(3,1)作互相垂直的两条直线L1,L2,设直线L1交X轴于点M,直线L2交Y轴于点N,求线段MN中点R的轨迹方程.

Answer 1

设第一条直线方程：y=kx+m
第二条直线方程：y=-x/k+n
将x=3,y=1代入：
1=3k+m m=1-3k
1=-3/k+n n=1+3/k
第一条直线方程：y=kx+1-3k
第二条直线方程：y=-x/k+1+3/k
对y=kx+1-3k令y=0
x=(3k-1)/k
直线与x轴交点：[(3k-1)/k,0]
对y=-x/k+1+3/k令x=0
y=(3+k)/k
直线与y轴交点：[0,(k+3)/k]
设中点R(x,y)：
x=(x1+x2)/2=(3k-1)/(2k) k=1/(3-2x)
y=(y1+y2)/2=(k+3)/(2k) k=3/(2y-1)
因此：
3-2x=(2y-1)/3
整理,得：y=-3x+5 (x≠1.5)
这就是所求轨迹方程.