建造一个容积为8m³、深为2m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元.1.设底面一边长为x,求总造价y关于底面一边长x的函数式.2.x为何值时,总造价最小,并求出最小值.

Question

建造一个容积为8m³、深为2m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元.
1.设底面一边长为x,求总造价y关于底面一边长x的函数式.
2.x为何值时,总造价最小,并求出最小值.

Answer 1

（1）设底边一边长为xm,总造价为y元,则
由题意,知底面面积为4m2,则底面另一边长为
4
x
m,
∴y=120×4+80×(4x+4×
4
x
)=480+320(x+
4
x
),x∈（0,+∞）
（2）当0＜x＜2时,y=f(x)=480+320(x+
4
x
)是单调递减的函数,证明如下：
设0＜x1＜x2＜2,则f(x1)-f(x2)=320(x1+
4
x1
)-320(x2+
4
x2
)=320[(x1-x2)+(
4
x1
-
4
x2
)]
=320[(x1-x2)+
4(x2-x1)
x1x2
]=320×
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0,x1x2＞0,x1x2-4＜0,即f（x1）-f（x2）＞0
故当0＜x＜2时,y=f(x)=480+320(x+
4
x
)是单调递减的函数
同理可证明当x＞2时,y=f(x)=480+320(x+
4
x
)是单调递增的函数
∴当x=2时,y=f(x)=480+320(x+
4
x
)在（0,+∞）上取到最小值,
最小值为f(2)=480+320(2+
4
2
)=1760元
答：（1）总造价y元关于底面一边长xm的函数解析式为y=480+320(x+
4
x ),此时此函数的定义域为（0,+∞）（2）总造价的最小值为1760元．