设函数f(x)=a1sin(x)+a2sin(2x)+……+ansin(nx),其中a1……an均为实数,n为正整数,设函数f（x）=a1sin（x）+a2sin（2x）+……+ansin（nx）,其中a1……an均为实数,n为正整数,证明f（x）在(∏/2,3∏/2)内必有一个

Question

设函数f(x)=a1sin(x)+a2sin(2x)+……+ansin(nx),其中a1……an均为实数,n为正整数,
设函数f（x）=a1sin（x）+a2sin（2x）+……+ansin（nx）,其中a1……an均为实数,n为正整数,证明f（x）在(∏/2,3∏/2)内必有一个根
在（π/2,3π/2）内必有一个根

Answer 1

f(π/2) = a1sin(π/2)+a2sin(π)+a3sin(1.5π)+a4sin(2π)+a5sin(2.5π)+a6sin(3π)+a7sin(3.5π).
= (a1 -a3 +a5 -a7+...)
f(3π/2) = a1sin(1.5π)+a2sin(3π)+a3sin(4.5π)+a4sin(6π)+a5sin(7.5π)+a6sin(9π)+a7sin(10.5π)
= -a1 0 +a3 0 -a5 +a7+.
= -(a1-a3+a5-a7+...) = -f(π/2)
可见：f (π/2) * f (3π/2) < 0
因此：（π/2,3π/2）内f(x)至少有一根.