设函数f（x）=a1sin（x+a1）+a2sin（x+a2）+…+ansin（x+an），其中ai，aj（i=1，2，…，n，n∈N*，n≥2）为已知实常数，x∈R，下列关于函数f（x）的性质判断正确的个数是（）①若f（0）=f（π2）

Question

设函数f（x）=a₁sin（x+a₁）+a₂sin（x+a₂）+…+a_nsin（x+a_n），其中a_i，a_j（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）为已知实常数，x∈R，下列关于函数f（x）的性质判断正确的个数是（　　）
①若f（0）=f（

(π)/(2)）=0，则f（x）=0对任意实数x恒成立；
②若f（0）=0，则函数f（x）为奇函数；
③若f（(π)/(2)）=0，则函数f（x）为偶函数；
④当f²（0）+f²（(π)/(2)）≠0时，若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=kπ（k∈Z）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Answer 1

∵函数f（x）=a₁sin（x+a₁）+a₂sin（x+a₂）+…+a_nsin（x+a_n），
其中a_i，a_j（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）为已知实常数，x∈R，
对于②：若f（0）=0，则f（0）=a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，
f（-x）+f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）+a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n）
=2cosx[a₁•sinα₁+a₂•sinα₂+…+a_n•sinα_n]=0，
∴函数f（x）为奇函数，故②正确．
对于③：若f（(π)/(2)）=0，则f（(π)/(2)）=a₁•sin（(π)/(2)+α₁）+a₂•sin（(π)/(2)+α₂）+…+a_n•sin（(π)/(2)+α_n）
=-a₁•cos（α₁）-a₂•cos（α₂）-…-a_n•cos（α_n）=0，
∴f（-x）-f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）
-a₁•sin（x+α₁）-a₂•sin（x+α₂）-…-a_n•sin（x+α_n）=2sinx[a₁•cosα₁+a₂•cosα₂+…+a_n•cosα_n]=0，
∴函数f（x）为偶函数，故③正确．
对于①：若f（0）=f（(π)/(2)）=0，则函数f（x）为奇函数，也为偶函数，
∴f（x）=0对任意实数x恒成立，故①正确．
对于④：当f²（0）+f²（(π)/(2)）≠0时，若f（x₁）=f（x₂）=0，
则f（x₁）=a₁•sin（x₁+α₁）+a₂•sin（x₁+α₂）+…+a_n•sin（x₁+α_n）
=f（x₂）=a₁•sin（x₂+α₁）+a₂•sin（x₂+α₂）+…+a_n•sin（x₂+α_n）=0，
∴（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n）=0，
∴sinx₁-sinx₂ =0，可得x₁-x₂=kπ（k∈Z），故④正确．
故选：A．