线性代数1.已经矩阵A=（32-1,a-22,3b-1）,如果A的特征值λ对应的一个特征向量α1=(1-23),求a,b和λ的值2.如果n阶矩阵A满足A²=A,则称A为幂等矩阵,试证：幂等矩阵的特征值只能是0或1.

Question

线性代数
1.已经矩阵A=（3 2 -1 ,a -2 2 ,3 b -1）,如果A的特征值λ对应的一个特征向量 α1=(1 -2 3),求a,b和λ的值
2.如果n阶矩阵A满足A²=A,则称A为幂等矩阵,试证：幂等矩阵的特征值只能是0或1.

Answer 1

1.已知A的特征值λ对应的一个特征向量 α1=(1 -2 3),则A α1=λα1.因为Aα1=（-4,a+9,-2b）的转置,λα1=（λ,-2λ,3λ）,所以λ=-4,a=-1,b=6.
2.设λ是A的特征值,所以Aα=λα.α≠0是对应的特征向量.
上式两边左乘上A,得到;(A^2)α=Aλα=λAα=(λ^2)α
因为A^2=A,所以(A^2)α=Aα
所以(λ^2)α=λα
[(λ^2)-λ]α=0
因为α≠0,所以(λ^2)-λ=0,解得λ=0或1.
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