设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.[32，1)B.(32，1)C.(0，32)D.(0，32]

Question

设F₁，F₂为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F₁PF₂=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A. [(√(3))/(2)，1)
B. ((√(3))/(2)，1)
C. (0，(√(3))/(2))
D. (0，(√(3))/(2)]

Answer 1

F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，设P（x₁，y₁），
则|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得cos120°=(1)/(2)=((a+ex1)2+(a−ex1)2−4c2)/(2(a+ex1)(a−ex1))，
解得x₁²=(4c2−3a2)/(e2)．
∵x₁²∈（0，a²]，∴0≤(4c2−3a2)/(e2)＜a²，即4c²-3a²≥0．且e²＜1
∴e=(c)/(a)≥(√(3))/(2)．
故椭圆离心率的取范围是 e∈[(√(3))/(2)，1)．
故选A．