在锐角三角形abc中abc是其三个内角求证sina+sinb+sinc>2

Question

在锐角三角形abc中 abc是其三个内角 求证sina+sinb+sinc>2

Answer 1

作BD垂直AC交于D.ad=b,bd=a,cd=c
sina+sinb+sinc=sina+sin(180-(a+c)+sinc=sina+sin(a+c)+sinc
=sina+sinacosc+cosasinc+sinc
=sina(1+cosc)+sinc(1+cosa) 用边的关系来表示
=a/b(1+c/a)+a/c(1+b/a)
=a/b+c/b+a/c+b/c
=(a+c)/b+(a+b)/c因为锐角三角形,角 90>A>45角ABDb,a+c>b..得(a+c)/b>1同理+(a+b)/c>1
(a+c)/b+(a+b)/c>2