已知n阶（n≥3）行列式丨A丨=a,将丨A丨中每一列减去其余所有各列得到的行列式记成丨B丨.证明：丨B丨=（2-n）[2^(n-1)]a

Question

已知n阶（n≥3）行列式丨A丨=a,将丨A丨中每一列减去其余所有各列得到的行列式记成丨B丨.
证明：丨B丨=（2-n）[2^(n-1)]a

Answer 1

证明:设n阶矩阵 K=
1 -1 ...-1
-1 1 ...-1
......
-1 -1 ...1
则 B = AK
所以 |B|=|AK|=|A||K|.
而 |K|= (2-n)2^(n-1)
所以 |B|=(2-n)2^(n-1)a.