一道不等式的证明,老师打我错,可是我还是觉得我是对的是用柯西不等式的证明问题.已知a>0b>0c>0abc=1求证：1/[a²(b+c)]+1/[b²(a+c)]+1/[c²（a+b）]≥3/2我是这么证明的为了方便打字我

Question

一道不等式的证明,老师打我错,可是我还是觉得我是对的 是用柯西不等式的证明问题.
已知a>0 b>0 c>0 abc=1
求证：1/[a²(b+c)] +1/[b²(a+c)]+1/[c²（a+b）]≥3/2
我是这么证明的 为了方便打字我把左边三项分别定为 m n 0
由左边三项联想均值不等式可得：m+n+o≥3*三次方根1/（m*n*o）
再在右边分母化简,可得a*(b²+c²）+b*(a²+c²)+c*（a²+b²）+2
再由均值不等式得a*(b²+c²）≥2abc=2 同理其他两项也是≥2abc=2
∴原式≥3/2
当且仅当.时取等号.
这里比较复杂,懒得打字了.我觉得我是对的.可是试卷发下来时老师给了我一个叉- 我怀疑我是对的.老师说用柯西不等式也能证.能不能告诉我哪里错了.

Answer 1

再由均值不等式得a*(b²+c²）≥2abc=2 同理其他两项也是≥2abc=2
你这一步得到的是分母≥8,那么整个右边应该≤3/2,哈哈,不等号反向了,错就错在了这里
均值不等式你没用错,只是你打错了,应该是m+n+o≥3³√mno,对吧
顺便说一下,你怎么不自己问老师呢,学习要主动嘛
最后祝楼主新年快乐,记得采纳^_^