如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60c，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿C方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB

Question

如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60c，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿C方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t（s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P同时停止移动，在移动过程中，

（1）连接ME，当ME∥AC时，t=___s；
（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；
（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）如图1所示：作MH⊥AC，垂足为H，作OG⊥AC，垂足为G．

∵在Rt△ABC中，AC=60，BC=45，
∴AB=75cm．
∴sin∠A=(3)/(5)．
∴PM=PG=(3)/(5)PA=3t．
∴AM=5t-3t=2t．
∴HM=(3)/(5)AM=(6)/(5)t．
当ME∥AC时，MH=EF，即(6)/(5)t=8，解得t=(20)/(3)．
故答案为：(20)/(3)．

（2）如图2所示：连结NF交DE与点G，则G为DE的中点．

∵AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm，
∴(BC)/(DF)=(AC)/(EF)．
又∵∠ACB=∠DFE=90°，
∴△EDF∽△ABC．
∴∠A=∠E．
∵E是DE的中点，
∴GF=DG=(1)/(2)ED．
∴∠DFD=∠GDF．
∵∠GDF+∠E=90°，
∴∠GFD+∠E=90°．
∴∠A+∠GFD=90°．
∴∠ANF=90°．
∴AF=(5)/(4)AN=10t．
又∵FC=4t，
∴10t+4t=60，解得t=(30)/(7)．

（3）如图3所示：过点P作PH⊥AC，垂足为H，当⊙P与EF相切时，且点为G，连结PG．

∵EF是⊙P的切线，
∴∠PGF=90°．
∵∠PGF=∠GFH=∠PHF=90°，
∴四边形PGFH为矩形．
∴PG=HF．
∵⊙P的半径为3t，sin∠A=(3)/(5)，AP=5t，
∴PH=3t．
∴⊙P与AC相切．
∵EF为⊙P的切线，
∴PG⊥EF．
∴HF=PG=3t．
∵AH=(4)/(5)AP=4t，FC=4t，
∴4t+3t+4t=60，解得t=(60)/(11)．
如图4所示：连接GP，过点P作PH⊥AC，垂足为H．

由题意得可知：AH=4t，CF=4t．
∵EF是⊙P的切线，
∴∠PGF=90°．
∵∠PGF=∠GFH=∠PHF=90°，
∴四边形PGFH为矩形．
∴PG=HF．
∵GP=FH，
∴FH=3t．
∴4t+4t-3t=60，解得：t=12．
综上所述，当t的值为(60)/(11)或12时，⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切．