这道积分怎么证明设函数f(x)以T为周期,证明a+TT∫f(x)dx=∫f(x)dx(a为常数)a0前面定积分的上限为a+T,下限为a后面定积分的上限为T,下限为0

Question

这道积分怎么证明
设函数f(x)以T为周期,证明
a+T T
∫ f(x)dx=∫ f(x)dx (a为常数)
a 0
前面定积分的上限为a+T,下限为a
后面定积分的上限为T,下限为0

Answer 1

证明如下： 

a+T 

∫ f(x)dx= 

a 

0 T a+T 

=∫ f(x)dx+∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx.(1) 

a 0 T 

对上式最后一项,设x=T+t,则有： 

a+T a a 0 

∫ f(x)dx=∫ f(T+t)dt= ∫ f(t)dt=-∫ f(x)dx.(2) 

T 0 0 a 

把（2）代入（1）可得到： 

a+T 

∫ f(x)dx= 

a 

0 T 0 

=∫ f(x)dx+∫ f(x)dx- ∫ f(x)dx 

a 0 a 

T 

=∫ f(x)dx (a为常数) ,得证. 

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