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设函数f(x)连续且恒大于零,F(t)=∫∫∫Ω(t)f(x2+y2+z2)dv∫∫D(t)f(x2+y2)dσ,G(x)=∫∫D(t)f(x2+y2)dσ∫t−tf(x2)dx,其中Ω(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}.(1)讨论F

题目详情
设函数f(x)连续且恒大于零,F(t)=
∫∫∫
Ω(t)
f(x2+y2+z2)dv
∫∫
D(t)
f(x2+y2)dσ
,G(x)=
∫∫
D(t)
f(x2+y2)dσ
t
−t
f(x2)dx
,其中Ω(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}.
(1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;
(2)证明当t>0时,F(t)>
2
π
G(t).
▼优质解答
答案和解析
(1)因为F(t)=
0
π
0
t
0
f(r2)r2sinϕdr
0
t
0
f(r2)rdr
2
t
0
f(r2)r2dr
t
0
f(r2)rdr

F′(t)=2
tf(t2)
t
0
f(r2)r(t−r)dr
[
t
0
f(r2)rdr]2

显然有:
t≥0,f(t2)>0;t-r≥0,f(r2)>0;
所以:
tf(t2
t
0
f(r2)(t-r)dr≥0.
因此:
在(0,+∞)上F'(t)≥0,
故F(t) 在(0,+∞)内单调不减.
(2)因为:
G(t)=
π
t
0
f(r2)rdr
t
0
f(r2)dr

要证明t>0时
F(t)>
2
π
G(t),只需证明t>0时,
F(t)−
2
π
G(t)>0,
t
0
f(r2)r2dr
t
0
f(r2)dr−[
t
0
f(r2)rdr]2>0.
令    g(t)=
t
0
f(r2)r2dr
t
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