求证：从1~3n之间任取n+2个数,其中必有两数之差的绝对值在[n,2n]之间.

Question

求证：从1~3n之间任取n+2个数,其中必有两数之差的绝对值在[n,2n]之间.

Answer 1

抽屉原理
为方便讨论,不妨设最大的数是3n（因为最大数如果不是3n,可以把最大的数增加到3n,其他的也依次增加相应的数,任意两数的差不变,所以每一种取数组合都可以调整到包含3n）
如果选取数中有n+1,n+2,2n-1
则这些数与3n的差在区间[n,2n]内
如果没有,则将剩下的数分组如下：
(1,2n)(2,2n+1)(3,2n+2).(n,3n-1)共n组
所以由抽屉原理,要从中选取n+1个数,必定会选到其中一组,则它们的差是2n-1这个值是
在[n,2n]区间内的,
综上得证