袋中有n只黑球，每次从中随意取出一球，并换入一个白球，如此交换共进行n次．已知袋中白球数的数学期望为a，则第n+1次从袋中任取一球为白球的概率是anan．

Question

袋中有n只黑球，每次从中随意取出一球，并换入一个白球，如此交换共进行n次．已知袋中白球数的数学期望为a，则第n+1次从袋中任取一球为白球的概率是

(a)/(n)

(a)/(n)

．

Answer 1

依题意，袋中白球数X是一个随机变量，X可取0，1，2，…，n，且EX＝

n

k＝0

kP(x＝k)＝a
若记B=“第n+1次从袋中任取一球为白球”，A_k=“第k次交换后袋中有k个白球”={X=k}．
则由全概率公式，得

P(B)＝

n

k＝0

P(Ak)P(B|Ak)

＝

n

k＝0

P(X＝k)•P(B|X＝k)

＝

n

k＝0

P(X＝k)•(k)/(n)＝(1)/(n)

n

k＝0

k•P(X＝k)＝(a)/(n)