有限项等差数列{an}的a1=1,公差为2,其所有项的算术平均数是2006.若从中删去一项后,该数列剩余各项算术平均数为整数,则删项的方法有--------

Question

有限项等差数列{an}的a1=1,公差为2,其所有项的算术平均数是2006.若从中删去一项后,该数列剩余各项算术平均数为整数,则删项的方法有--------

Answer 1

最后一项为 2*2006-1 = 4011 ,{an}一共有 (4011+1)÷2 = 2006 项,是连续的奇数,
所有项的算术平均数是2006,则所有项的和为 2006*2006 .
删去一项后,剩余 2006-1 = 2005 项,剩余各项算术平均数为整数,
设删去的项等于 x ,则有：2006*2006-x 能被2005整除；
2006*2006 = (2005+1)(2005+1) = 2005*2005+2*2005+1 ,除以2005余1 ；
则 x 除以2005也余1 ；且 x 是不超过 4011 的正奇数,可得：x = 4011 ；
所以,删项的方法只有一种,即删去 a2006 = 4011 .