设函数f（x）=x2+|2x-a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．

Question

设函数f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a为实数）．
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值； 
（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

（1）由已知f（-x）=f（x），即|2x-a|=|2x+a|，解得a=0
（2）f(x)＝

x2+2x−a，x≥(1)/(2)a

x2−2x+a，x＜(1)/(2)a

当x≥(1)/(2)a时，f（x）=x²+2x-a=（x+1）²-（a+1）
由a＞2，x≥(1)/(2)a，得x＞1，从而x＞-1
故f（x）在x≥(1)/(2)a时单调递增，f（x）的最小值为f((a)/(2))＝(a2)/(4)
当x＜(1)/(2)a时，f（x）=x²-2x+a=（x-1）²+（a-1）
故当1＜x＜(a)/(2)时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减
则f（x）的最小值为f（1）=a-1
由(a2)/(4)−(a−1)＝((a−2)2)/(4)＞0，知f（x）的最小值为a-1．