三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且.（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值.

Question

三棱锥 及其侧视图、俯视图如图所示.设 ， 分别为线段 ， 的中点， 为线段 上的点，且 .

（1）证明： 为线段 的中点；
（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

三棱锥 及其侧视图、俯视图如图所示.设 ， 分别为线段 ， 的中点， 为线段 上的点，且 .

（1）证明： 为线段 的中点；
（2）求二面角 的余弦值.

（1）证明详见解析；（2） .

试题分析：根据侧视图和俯视图可知， 为正三角形，顶点D在底面内的射影为BD的中点O，所以 两两互相垂直，故可以 为坐标轴建立坐标系如图所示.（1） ，为了证明点P是BC的中点，只需利用向量证明 即可.（2）利用向量求出平面PMN和平面ABC的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角 的余弦值.

试题取BD的中点O，建坐标系如图所示，则 ， ，设（1）证明：设 ，则 ， .因为 ，所以点P是BC的中点.

（2）易平面PMN的法向量为 . ，设平面ABC的法向量为 ，则 ，所以 .
【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角.