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三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设,分别为线段,的中点,为线段上的点,且.(1)证明:为线段的中点;(2)求二面角的余弦值.

题目详情
三棱锥 及其侧视图、俯视图如图所示.设 分别为线段 的中点, 为线段 上的点,且 .

(1)证明: 为线段 的中点;
(2)求二面角 的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
三棱锥 及其侧视图、俯视图如图所示.设 分别为线段 的中点, 为线段 上的点,且 .

(1)证明: 为线段 的中点;
(2)求二面角 的余弦值.
(1)证明详见解析;(2) .


试题分析:根据侧视图和俯视图可知, 为正三角形,顶点D在底面内的射影为BD的中点O,所以 两两互相垂直,故可以 为坐标轴建立坐标系如图所示.(1) ,为了证明点P是BC的中点,只需利用向量证明 即可.(2)利用向量求出平面PMN和平面ABC的法向量,求出法向量的夹角即可得二面角 的余弦值.

试题取BD的中点O,建坐标系如图所示,则 ,设(1)证明:设 ,则 .因为 ,所以点P是BC的中点.

(2)易平面PMN的法向量为 . ,设平面ABC的法向量为 ,则 ,所以 .
【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系;2、二面角.
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