已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．求：（1）异面直线DE与AB所成角的余弦值；（2）二面角A-ED-B的正弦值；（3

Question

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．求：
（1）异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（2）二面角A-ED-B的正弦值；
（3）此几何体的体积V的大小．

Answer 1

（1）取EC的中点是F，连接BF，
则BF ∥ DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．
在△BAF中，AB=4

2

，BF=AF=2

5

，
cos∠ABF= (10)/(5) ，．
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为 (10)/(5) ．（3分）
（2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE
∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG= (85)/(5)
∴tan∠AGC= (5)/(2) ，．∴sin∠AGC= (5)/(3) ．
∴二面角A-ED-B的正弦值为 (5)/(3) ．（6分）
（3）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=2，
∴S _梯形BCED = (1)/(2) ×（4+2）×4=12
∴V= (1)/(3) •S _梯形BCED •AC= (1)/(3) ×12×4=16．
即该几何体的体积V为16．