已知几何体A-BCED的三视图、直观图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体A-BCED的体积V的大小；（2）求二面角A-ED-B的余弦值．

Question

已知几何体A-BCED的三视图、直观图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体A-BCED的体积V的大小；
（2）求二面角A-ED-B的余弦值．

Answer 1

（1）由三视图可知，AC=BC=CE=4，BD=2，
且AC、BC、CE两两互相垂直．
∴几何体A-BCED的体积
V＝(1)/(3)•SBCED•AC＝16（6分）
（2）AC⊥平面BCE，
过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．
可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE
∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角． （10分）
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，
在面BCDE中，CE=4，tan∠CED=2，则可得CG=(8√(5))/(5)，
∴AG＝√(42+((8)/(5)√(5))2)＝(12)/(5)√(5)．
∴cos∠AGC＝(CG)/(AG)＝(2)/(3)．
∴二面角A-ED-B的余弦值为(2)/(3)． （14分）
方法二：（坐标法）
（2）平面BDE的一个法向量为

CA

＝(4，0，0)，（8分）
设平面ADE的一个法向量为

n

＝(x，y，z)，

n

⊥

AD

，

n

⊥

DE

，
∵

AD

＝(−4，4，2)，

DE

＝(0，−4，2)，
∴

n

•

AD

＝0，

n

•

DE

＝0
从而-4x+4y+2z=0，-4y+2z=0，
令y=1，则

n

＝(2，1，2)，（12分）
显然二面角A-ED-B是锐二面角，设其平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

CA

，

n

＞|＝(2)/(3)
∴二面角A-ED-B的余弦值为(2)/(3)．（14分）