已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）

Question

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小；
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．

Answer 1

（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S_梯形BCED=(1)/(2)×（4+1）×4=10
∴V=(1)/(3)•S_梯形BCED•AC=(1)/(3)×10×4=(40)/(3)．
即该几何体的体积V为16．（3分）

（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）
在△BAF中，
∵AB=4√(2)，
BF=AF=√(16+9)=5．
∴cos∠ABF=(BF2+AB2−AF2)/(2BF•AB)=(2√(2))/(5)．
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为(2√(2))/(5)．（7分）
解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴

DE

=（0，-4，3），

作业帮用户 2016-12-05

问题解析

（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．
（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．
（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．
解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．
解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得

EQ

=λ

QD

，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，(16)/(5)，(8)/(5)）．

名师点评

本题考点：

异面直线及其所成的角；由三视图求面积、体积．

考点点评：

本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．

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