已知函数f(x)＝x2+5ax+1(a∈R)（1）若f（x）在[1，3]上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在x=x1，x=x2处取极值，且满足|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，求a的取值范围．

Question

已知函数f(x)＝(x2+5)/(ax+1)(a∈R)
（1）若f（x）在[1，3]上单调递增，求a的取值范围；
（2）若f（x）在x=x₁，x=x₂处取极值，且满足|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′(x)＝(ax2+2x−5a)/((ax+1)2)，
∴由f（x）在[1，3]上单调递增得：f′(x)≥0⇒

ax2+2x−5a2

ax+1≠0

．
令g（x）=ax²+2x-5a，则得

a＞0

g(1)＝−4a+2≥0

⇒0＜a≤(1)/(2)；
或

a＜0

g(1)＝−4a+2≥0

g(3)＝4a+6≥0

⇒−(3)/(2)≤a＜0；
又当a=0时，g（x）=2x＞0在[1，3]上恒成立，∴−(3)/(2)≤a≤(1)/(2)
再由ax+1≠0⇒a≠−(1)/(x)(x∈[1，3])⇒a∉[−1，−(1)/(3)]．
综上，a∈[−(3)/(2)，−1)∪(−

作业帮用户 2017-11-12

问题解析

（1）若f（x）在[1，3]上单调递增，则函数的导数在[1，3]上大于0恒成立，得到关于x的二次函数，只要二次函数图象当x∈[1，3]时恒在x轴上方即可，再利用二次函数根的分布来判断即可．
（2）若f（x）在x=x₁，x=x₂处取极值，则x₁，x₂是方程g（x）=ax²+2x-5a=0的两根，利用韦达定理可得

x1+x2＝−(2)/(a)

x1x2＝−5

，把|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|中的f（x₁）和f（x₂）用x₁，x₂表示，化简，即可求出a的范围．

名师点评

本题考点：

函数在某点取得极值的条件．

考点点评：

本题主要考查了应用导数求函数的单调区间，极值，属于导数的应用．

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