设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a(1)当a=0时,f(x)>=h(x)在(1,+&)上恒成立,求实数m的取值范围当m=2肋,...设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a(1)当a=0时,f(x)>=h(x)在(1,+&)上恒成立,求实数m的取值范围当m=2肋,若函数k(x)=f(x)-

Question

设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a (1)当a=0时,f(x)>=h(x)在(1,+&)上恒成立,求实数m的取值范围 当m=2肋,...
设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a
(1)当a=0时,f(x)>=h(x)在(1,+&)上恒成立,求实数m的取值范围
当m=2肋,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点求实数a的取值范围

Answer 1

（I）由a=0,f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x,即m≤x lnx记φ=x/lnx
则f（x）≥h（x）在（1,+∞）上恒成立等价于m≤φ（x）min．
求得φ′(x)=(lnx-1)/ln^2x
当x∈（1,e）时；φ′（x）＜0；当x∈（e,+∞）时,φ′（x）＞0
故φ（x）在x=e处取得极小值,也是最小值,
即φ（x）min=φ（e）=e,故m≤e．（
（II）函数k（x）=f（x）-h（x）在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a,
在[1,3]上恰有两个相异实根．
令g（x）=x-2lnx,则g′(x)=1-2 x
当x∈[1,2）时,g′（x）＜0,当x∈（2,3]时,g′（x）＞0
g（x）在[1,2]上是单调递减函数,在（2,3]上是单调递增函数．
故g（x）min=g（2）=2-2ln2
又g（1）=1,g（3）=3-2ln3
∵g（1）＞g（3）,
∴只需g（2）＜a≤g（3）
故a的取值范围是（2-2ln2,3-2ln3〕