已知函数f(x)=x^3/3-mx^2+3mx/2(m>0)（1）若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求m的取值范围（2）若函数f(x)在R上既有极大值,又有极小值,且当0≤x≤4m时,f(x)＜mx^2+(3m/2-3m^2)x+32/3恒成立,求m的取值范围

Question

已知函数f(x)=x^3/3-mx^2+3mx/2(m>0)
（1）若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求m的取值范围（2）若函数f(x)在R上既有极大值,又有极小值,且当0≤x≤4m时,f(x)＜mx^2+(3m/2-3m^2)x+32/3恒成立,求m的取值范围

Answer 1

f(x) = x^3/3 - mx^2 + 3mx/2
则：f'(x) = x^2 - 2mx + 3m/2
f(x)在区间[1,2]单调递减,说明f'(x)在区间[1,2]是 = 8/5
so:m >= 2时,f'(x)在x=1,x=2时均 0
b^2-4ac = 4m^2 - 6m > 0
得出 m < 0 或 m>3/2 ,原题已经说了m>0
so:m > 3/2
f(x)＜mx^2+(3m/2-3m^2)x+32/3,将f(x)代入,可得：
x^3-6mx^2 + 9m^2x -32 < 0
设函数Y(x) = x^3-6mx^2 + 9m^2x -32
则：Y'(x) = 3x^2 - 12mx + 9m^2
一元二次方程Y'(x) =
可得当x= m 和 x = 3m时,Y'(x)=0
当 0