f(x)=e^x/(1+ax^2),a为正实数f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.我看了f(x)=e^x/(1+ax^2),a为正实数f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.我看了很多答案,结果各有不同,让同学我花了眼.请哪位大侠再认

Question

f(x)=e^x/(1+ax^2),a为正实数 f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.我看了
f(x)=e^x/(1+ax^2),a为正实数
f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
我看了很多答案,结果各有不同,让同学我花了眼.请哪位大侠再认真做一遍,给我一个正确的答案.

Answer 1

求导：
f'(x)=e^x/(1+ax^2)+e^x(-2ax/(1+ax^2)^2)
化简得：
f'(x)=(ax^2-2ax+1)e^x/(1+ax^2)^2
因为e^x/(1+ax^2)^2恒大于零
所以要使函数f(x)为R上的单调函数,即方程ax^2-2ax+1=0无实根或两实根相等（此时a≠0）
即△=4a^2-4≤0,得a∈(0,1]
当a=0时,f'(x)在R上恒大于零,符合题意.
综上：a∈[0,1]