设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an=Snn+n-1．（1）证明：数列{an}为等差数列；（2）求数列{3an}的前n项和Tn．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且a_n=(Sn)/(n)+n-1．
（1）证明：数列{a_n}为等差数列；
（2）求数列{3^a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

证明：（1）由a_n=(Sn)/(n)+n-1得，nan=Sn+n2-n，
当n≥2时，(n-1)an-1=Sn-1+(n-1)2-(n-1)，
两式相减得，na_n-（n-1）a_n-1=a_n+2n-2，
所以（n-1）（a_n-a_n-1）=2（n-1），即a_n-a_n-1=2，
又a₁=1，所以数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列；
（2）由（1）得，a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
则3^a_n=3^2n-1=(1)/(3)•9n，
所以数列{3^a_n}的前n项和T_n=(1)/(3)×(9(1-9n))/(1-9)=(3)/(8)(9n-1)．