△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式：S=c2-（a-b）2且a+b=2，求面积S的最大值．

Question

△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式：S=c²-（a-b）²且a+b=2，求面积S的最大值．

Answer 1

由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC及面积公式S=(1)/(2)absinC代入条件得
S=c²-（a-b）²=a²+b²-2abcosC-（a-b）²，即(1)/(2)absinC=2ab（1-cosC），
∴(1−cosC)/(sinC)=(1)/(4)，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）
由（1-k）²+（4k）²=cos²C+sin²C=1，得k=(2)/(17)，
∴sinC=4k=(8)/(17)
∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴S=(1)/(2)absinC=(4)/(17)ab≤(4)/(17)•((a+b)2)/(2)=(8)/(17)，当且仅当a=b=1时，S_max=(8)/(17)．