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△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式:S=c2-(a-b)2且a+b=2,求面积S的最大值.
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△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式:S=c2-(a-b)2且a+b=2,求面积S的最大值.
▼优质解答
答案和解析
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC及面积公式S=
absinC代入条件得
S=c2-(a-b)2=a2+b2-2abcosC-(a-b)2,即
absinC=2ab(1-cosC),
∴
=
,令1-cosC=k,sinC=4k(k>0)
由(1-k)2+(4k)2=cos2C+sin2C=1,得k=
,
∴sinC=4k=
∵a>0,b>0,且a+b=2,
∴S=
absinC=
ab≤
•
=
,当且仅当a=b=1时,Smax=
.
1 |
2 |
S=c2-(a-b)2=a2+b2-2abcosC-(a-b)2,即
1 |
2 |
∴
1−cosC |
sinC |
1 |
4 |
由(1-k)2+(4k)2=cos2C+sin2C=1,得k=
2 |
17 |
∴sinC=4k=
8 |
17 |
∵a>0,b>0,且a+b=2,
∴S=
1 |
2 |
4 |
17 |
4 |
17 |
(a+b)2 |
2 |
8 |
17 |
8 |
17 |
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