关于x的方程:k9^x-k3^(x+1)+6(k-5)=0在[0,2]上有解,求k范围

Question

关于x的方程:k9^x-k3^(x+1)+6(k-5)=0在[0,2]上有解,求k范围

Answer 1

令t=3^x>0
则方程化为：kt^2-3kt+6k-30=0
k(t^2-3t+6)=30
k=30/(t^2-3t+6)=30/[(t-3/2)^2+15/4]
当x∈[0,2]时,t∈[1, 9]
g(t)=(t-3/2)^2+15/4的最小值为gmin=g(3/2)=15/4
最大值为gmax=g(9)=81-27+6=60
所以k的最大值为30/(15/4)=8
k的最小值为30/60=1/2
因此k的取值范围是[1/2, 8]