设a0为常数，且an=3n-1-2an-1（n∈N+）．（1）若数列{an+λ3n}是等比数列，求实数λ的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）假设对任意n≥1，有an≥an-1，求a0的取值范围．

Question

设a ₀ 为常数，且a _n =3 ^n-1 -2a _n-1 （n∈N ⁺ ）．
（1）若数列{a _n +λ3 ⁿ }是等比数列，求实数λ的值；
（2）求数列{a _n }的通项公式；
（3）假设对任意n≥1，有a _n ≥a _n-1 ，求a ₀ 的取值范围．

Answer 1

（1）由题意知a _n +λ3 ⁿ =-2（a _n-1 +λ3 ^n-1 ），a _n =-2a _n-1 -2•λ•3 ^n-1 -λ3 ⁿ ，∴ λ=-(1)/(5) ．
（2）数列 { a n -(1)/(5) • 3 n }  的首项为 a 0 -(1)/(5) ，公比为-2．
a n -(1)/(5) • 3 n =( a 0 -(1)/(5) )(-2 ) n ，∴ a n =(-2 ) n a 0 +(1)/(5) • 3 n -(1)/(5) •(-2 ) n ，n=0，1，2，3，…
（3）利用（2）的结果，得a _n ≥a _n-1 等价于 (-1 ) n-1 (5 a 0 -1)＜((3)/(2) ) n-2 …③
对任意的奇数n＞0，③式都成立的充要条件为 5 a 0 -1＜((3)/(2) ) 1-2 =(2)/(3) ，即 a 0 ＜(1)/(3) ；
而对任意的偶数n＞0，③式都成立的充要条件为 1-5 a 0 ＜((3)/(2) ) 2-2 =1 ，即a ₀ ＞0．
因此任意n≥1，都使a _n ≥a _n-1 成立的a ₀ 的取值范围为 (0，(1)/(3) ) ．