设数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3，且a1，a2，a3，a4，a5等比数列，当n≥5时，an>0．（Ⅰ）求证：当n≥5时，{an}成等差数列；（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁，a₂，a₃，a₄，a₅等比数列，当n≥5时，a_n>0．
（Ⅰ）求证：当n≥5时，{a_n}成等差数列；
（Ⅱ）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由4S_n=a_n²+2a_n-3，4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3
两式相减得，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
当n≥5时，a_n>0，
∴a_n+1-a_n=2，
∴当n≥5时，{a_n}成等差数列．                
（Ⅱ） 由4a₁=a₁²+2a₁-3，得a₁=3或a₁=-1
又a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比数列，
∴a_n+1+a_n=0（n≤4），
∴q=-1，
而a₅>0，
∴a₁>0，
从而a₁=3．
∴a_n=

3×(-1)n-1，n=1，2，3，4

2n-7，n≥5

，
∴S_n=

(3)/(2)[1-(-1)n]，n=1，2，3，4

n2-6n+8，n≥5