已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an-1+1（n≥2），则a5为（）A.7B.15C.30D.31

Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n=2a_n-1+1（n≥2），则a₅为（　　）
A. 7
B. 15
C. 30
D. 31

Answer 1

（法一）∵a_n=2a_n-1+1，a₁=1
a₂=2a₁+1=3
a₃=2a₂+1=7
a₄=2a₃+1=15
a₅=2a₄+1=31
（法二）∵a_n=2a_n-1+1
∴a₅=2a₄+1=4a₃+3=8a₂+7=16a₁+15=31
（法三）∴a_n+1=2（a_n-1+1）
∵a₁+1=2
∴{a_n+1}是以2为首项，以2为等比数列
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1
∴a₅=2⁵-1=31
故选：D