（2014•徐州模拟）已知数列{an}的各项均为正整数，且a1=1，a2=4，an=an−1an+1+1，n≥2，n∈N*．（1）求a3，a4的值；（2）求证：对一切正整数n，2anan+1+1是完全平方数．

Question

（2014•徐州模拟）已知数列{a_n}的各项均为正整数，且a₁=1，a₂=4，a_n=√(an−1an+1+1)，n≥2，n∈N^*．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）求证：对一切正整数n，2a_na_n+1+1是完全平方数．

Answer 1

（1）由a2＝√(a1a3+1)得，a₃=15，
由a3＝√(a2a4+1)得，a₄=56．                  …（2分）
（2）2a1a2+1＝9＝(a2−a1)2，2a2a3+1＝121＝(a3−a2)2，2a3a4+1＝1681＝(a4−a3)2，
猜想：2anan+1+1＝(an+1−an)2．下面用数学归纳法证明．   …（5分）
证明：①当n=1，2时，已证；
②假设当n=k（k≥2，k∈N^*）时，2akak+1+1＝(ak+1−ak)2成立，
那么，当n=k+1时，由ak+1＝√(akak+2+1)知，ak+12−1＝akak+2，即ak+2＝(ak+12−1)/(ak)，
又由2aka

作业帮用户 2016-12-12