用完全归纳法证明左右相等,n∈N,x≠1.这道题用完全归纳法,第一步我想的是左边=(1+x)=(1-x^2)/(1-x),那这样我左边2^k=1,所以k=0,右边2^(n+1)=2,n=0,那这样我左边是k,右边是n,我在写的时候要设n=0还是k=0

Question

用完全归纳法证明左右相等,
n∈N,x≠1.这道题用完全归纳法,第一步我想的是左边=(1+x)=(1-x^2)/(1-x),那这样我左边2^k=1,所以k=0,右边2^(n+1)=2,n=0,那这样我左边是k ,右边是n,我在写的时候要设n=0还是k=0啊?
然后接下来怎么写呢,

Answer 1

你理解错了,不是这样的.n=1时,k取0,1
证：
n=1时,
左边=[1+x^(2^0)][1+x^(2^1)]=(1+x)(1+x^2)
右边=(1-x^(2^2))/(1-x)=(1-x^4)/(1-x)=(1+x^2)(1+x)
左边=右边,等式成立.
假设当n=k(k∈N且k≥1)时,等式成立,即
(1+x)(1+x^2)...[1+x^(2^k)]=[1-x^(2^(k+1)]/(1-k)
则当n=k+1时,
(1+x)(1+x^2)...[1+x^(2^k)][1+x^(2^(k+1))]
=[1-x^(2^(k+1)][1+x^(2^(k+1))]/(1-k)
=[1+x^(2^(k+1))-x^(2^(k+1)-x^(2^(k+2))]/(1-k)
=[1-x^(2^(k+1+1)]/(1-k)
等式同样成立.
综上,等式成立.