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定义在R上的函数f(x)同时满足下列两个条件:①对任意x∈R,有f(x+2)≥f(x)+2;②对任意x∈R,有f(x+3)≤f(x)+3.设g(x)=f(x)-x.(Ⅰ)证明:g(x+3)≤g(x)≤g(x+2);(Ⅱ)
题目详情
定义在R上的函数f(x)同时满足下列两个条件:
①对任意x∈R,有f(x+2)≥f(x)+2;②对任意x∈R,有f(x+3)≤f(x)+3.
设g(x)=f(x)-x.
(Ⅰ)证明:g(x+3)≤g(x)≤g(x+2);
(Ⅱ)若f(4)=5,求f的值.
①对任意x∈R,有f(x+2)≥f(x)+2;②对任意x∈R,有f(x+3)≤f(x)+3.
设g(x)=f(x)-x.
(Ⅰ)证明:g(x+3)≤g(x)≤g(x+2);
(Ⅱ)若f(4)=5,求f的值.
▼优质解答
答案和解析
(本小题满分10分)
(Ⅰ)证明:因为g(x)=f(x)-x,
所以g(x+2)=f(x+2)-x-2,g(x+3)=f(x+3)-x-3.
由条件①,②可得g(x+2)=f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x=g(x);【(2分)】
③g(x+3)=f(x+3)-x-3≤f(x)+3-x-3=f(x)-x=g(x). ④【(4分)】
所以g(x+3)≤g(x)≤g(x+2).
(Ⅱ) 由③得 g(x+2)≥g(x),
所以g(x+6)≥g(x+4)≥g(x+2)≥g(x).【(6分)】
由④得 g(x+3)≤g(x),
所以g(x+6)≤g(x+3)≤g(x).【(7分)】
所以必有g(x+6)=g(x),
即g(x)是以6为周期的周期函数.【(8分)】
所以g=g(335×6+4)=g(4)=f(4)-4=1.【(9分)】
所以f=g+2014=2015.【(10分)】
(Ⅰ)证明:因为g(x)=f(x)-x,
所以g(x+2)=f(x+2)-x-2,g(x+3)=f(x+3)-x-3.
由条件①,②可得g(x+2)=f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x=g(x);【(2分)】
③g(x+3)=f(x+3)-x-3≤f(x)+3-x-3=f(x)-x=g(x). ④【(4分)】
所以g(x+3)≤g(x)≤g(x+2).
(Ⅱ) 由③得 g(x+2)≥g(x),
所以g(x+6)≥g(x+4)≥g(x+2)≥g(x).【(6分)】
由④得 g(x+3)≤g(x),
所以g(x+6)≤g(x+3)≤g(x).【(7分)】
所以必有g(x+6)=g(x),
即g(x)是以6为周期的周期函数.【(8分)】
所以g=g(335×6+4)=g(4)=f(4)-4=1.【(9分)】
所以f=g+2014=2015.【(10分)】
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