设A为m×n矩阵,且非齐次线性方程组Ax=b有唯一解,则.A.m=nB.秩(A)=mC.秩(A)=nD.秩(A)

Question

设A为m×n矩阵,且非齐次线性方程组Ax=b有唯一解,则___. A. m=n B. 秩(A)=m C. 秩(A)= n D. 秩(A)

Answer 1

仅供参考.我认为选 C.
用 f 表示与矩阵 A 对应的线性映射
f :K^n -----> K^m.
如果齐次方程 A x = b 有非零解,显然 b 在 f 下的原像不唯一.所以 A x = f(x) = b 有唯一解的充分必要条件是
1) b 属于 像空间 Im (f)
并且 2) 核空间 Ker (f) = {0}.
利用增广矩阵,条件1) 等价于
rank(A) = rank(A,b)
另一方面,利用维数定理
n = dim.Im(f) + dim.Ker(f)
条件 2) 等价于 rank(A) = n .