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设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则方程组Bx=0与ABx=0同解的充分条件是（）A．r（A）=nB．r（A）=mC．r（B）=nD．r（B）=s
题目详情
设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则方程组Bx=0与ABx=0同解的充分条件是（ ）
A．r（A）=n
B．r（A）=m
C．r（B）=n
D．r（B）=s
A．r（A）=n
B．r（A）=m
C．r（B）=n
D．r（B）=s
▼优质解答
答案和解析
易知Bx=0的解是ABx=0的解，
当A列满秩时，即r（A）=n时，齐次线性方程组Ax=0只有零解．
于是，若x0为ABx=0的任一解，即ABx0=0，则一定有Bx0=0，
从而x0也为Bx=0的解，故组Bx=0与ABx=0同解，
而当r（A）=m时，A的列不是满秩，齐次方程Ax=0有非零解，则是充分非必要条件，排除（B）；
同理，当r（B）=n或r（B）=s时，不能保证齐次方程Ax=0只有零解，（C）（D）也不正确；
故选择：A．
当A列满秩时，即r（A）=n时，齐次线性方程组Ax=0只有零解．
于是，若x0为ABx=0的任一解，即ABx0=0，则一定有Bx0=0，
从而x0也为Bx=0的解，故组Bx=0与ABx=0同解，
而当r（A）=m时，A的列不是满秩，齐次方程Ax=0有非零解，则是充分非必要条件，排除（B）；
同理，当r（B）=n或r（B）=s时，不能保证齐次方程Ax=0只有零解，（C）（D）也不正确；
故选择：A．
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