设G是n介有限循环群且m整除n求证：G一定有m元子群设G是n介有限循环群且m整除n求证：G一定有m元子群循环群的证明题求大神解答.

Question

设G是n介有限循环群 且m整除n 求证：G一定有m元子群
设G是n介有限循环群 且m整除n 求证：G一定有m元子群
循环群的证明题求大神解答.

Answer 1

因为G是n阶循环群,所以存在G的元素a,使a可以生成G.
G中元素可唯一表示为a^i,i = 0,1,2,...,n-1,而a^n = e.
由m整除n,k = n/m为整数,考虑G中元素b = a^k.
可知b^m = (a^k)^m = a^(km) = a^n = e,而对i = 1,2,...,m-1,b^i ≠ e.
因此b是一个m阶元,b生成的子群就是G的m元子群.