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若对于正整数k、g(k)表示k的最大奇数因数,例如g(3)=3,g(20)=5,并且g(2m)=g(m)(m∈N*),设Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)(Ⅰ)求S1、S2、S3;(Ⅱ)求Sn;(III)设bn=1Sn−1,求证数列{bn

题目详情
若对于正整数k、g(k)表示k的最大奇数因数,例如g(3)=3,g(20)=5,并且g(2m)=g(m)(m∈N*),设Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)
(Ⅰ)求S1、S2、S3
(Ⅱ)求Sn
(III)设bn=
1
Sn−1
,求证数列{bn}的前n顶和Tn<
3
2
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)S1=g(1)+g(2)=1+1=2(1分)
S2=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=1+1+3+1=6(2分)
S3=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)
=1+1+3+1+5+3+7+1=22…(3分)
(Ⅱ)∵g(2m)=g(m),n∈N+…(4分)
Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n−1)+g(2n)
=[g(1)+g(3)+g(5)+…+g(2n-1)]+[g(2)+g(4)+…+g(2n)]
=[1+3+5+…+(2n-1)]+[g(2×1)+g(2×2)+…+g(2•2n-1)]…(5分)
=
(1+2n−1)•2n−1
2
+[g(1)+g(2)+…g(2n−1)]…(6分)
=4n-1+Sn-1…(7分)
Sn−Sn−1=4n−1,
∴Sn=(Sn-Sn-1)+(Sn-1-Sn-2)+…+(S2-S1)+S1…(8分)
=4n-1+4n-2+…+42+4+2
=
4(4n−1−1)
4−1
+2=
1
3
•4n+
2
3
…(9分)
(Ⅲ)bn=
1
Sn−1
3
4n−1
3
(2n)2−1
3
(2n−1)(2n+1)
3
2
(
1
2n−1
1
2n+1
),…(10分)Tn=
3
2
(
1
21−1
1
2+1
)+
3
2
(
1
22−1
1
22+1
)+
3
2
(
1
23−1
1
23+1
)+…+
3
2
(
1
2n−1
1
2n+1
作业帮用户 2017-09-19
问题解析
(Ⅰ)由对于正整数k、g(k)表示k的最大奇数因数,g(2m)=g(m)(m∈N*),S1=g(1)+g(2),S2=g(1)+g(2)+g(3)+g(4),S3=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8),能求出S1,S2,S3
(Ⅱ)由g(2m)=g(m),n∈N+,知Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n−1)+g(2n)=[g(1)+g(3)+g(5)+…+g(2n-1)]+[g(2)+g(4)+…+g(2n)]=[1+3+5+…+(2n-1)]+[g(2×1)+g(2×2)+…+g(2•2n-1)],得Sn−Sn−1=4n−1,由此能求出Sn
(Ⅲ)由bn=
1
Sn−1
3
4n−1
3
(2n)2−1
3
(2n−1)(2n+1)
3
2
(
1
2n−1
1
2n+1
),用裂项求和法能证明数列{bn}的前n顶和Tn<
3
2
名师点评
本题考点:
数列与不等式的综合;数列的求和.
考点点评:
本题考查数列与不等式的综合运用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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