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若对于正整数k、g(k)表示k的最大奇数因数,例如g(3)=3,g(20)=5,并且g(2m)=g(m)(m∈N*),设Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)(Ⅰ)求S1、S2、S3;(Ⅱ)求Sn;(III)设bn=1Sn−1,求证数列{bn
题目详情
若对于正整数k、g(k)表示k的最大奇数因数,例如g(3)=3,g(20)=5,并且g(2m)=g(m)(m∈N*),设Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)
(Ⅰ)求S1、S2、S3;
(Ⅱ)求Sn;
(III)设bn=
,求证数列{bn}的前n顶和Tn<
.
(Ⅰ)求S1、S2、S3;
(Ⅱ)求Sn;
(III)设bn=
1 |
Sn−1 |
3 |
2 |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)S1=g(1)+g(2)=1+1=2(1分)
S2=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=1+1+3+1=6(2分)
S3=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)
=1+1+3+1+5+3+7+1=22…(3分)
(Ⅱ)∵g(2m)=g(m),n∈N+…(4分)
∴Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n−1)+g(2n)
=[g(1)+g(3)+g(5)+…+g(2n-1)]+[g(2)+g(4)+…+g(2n)]
=[1+3+5+…+(2n-1)]+[g(2×1)+g(2×2)+…+g(2•2n-1)]…(5分)
=
+[g(1)+g(2)+…g(2n−1)]…(6分)
=4n-1+Sn-1…(7分)
则Sn−Sn−1=4n−1,
∴Sn=(Sn-Sn-1)+(Sn-1-Sn-2)+…+(S2-S1)+S1…(8分)
=4n-1+4n-2+…+42+4+2
=
+2=
•4n+
…(9分)
(Ⅲ)bn=
=
=
=
=
(
−
),…(10分)Tn=
(
−
)+
(
−
)+
(
−
)+…+
(
−
S2=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=1+1+3+1=6(2分)
S3=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)
=1+1+3+1+5+3+7+1=22…(3分)
(Ⅱ)∵g(2m)=g(m),n∈N+…(4分)
∴Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n−1)+g(2n)
=[g(1)+g(3)+g(5)+…+g(2n-1)]+[g(2)+g(4)+…+g(2n)]
=[1+3+5+…+(2n-1)]+[g(2×1)+g(2×2)+…+g(2•2n-1)]…(5分)
=
(1+2n−1)•2n−1 |
2 |
=4n-1+Sn-1…(7分)
则Sn−Sn−1=4n−1,
∴Sn=(Sn-Sn-1)+(Sn-1-Sn-2)+…+(S2-S1)+S1…(8分)
=4n-1+4n-2+…+42+4+2
=
4(4n−1−1) |
4−1 |
1 |
3 |
2 |
3 |
(Ⅲ)bn=
1 |
Sn−1 |
3 |
4n−1 |
3 |
(2n)2−1 |
3 |
(2n−1)(2n+1) |
3 |
2 |
1 |
2n−1 |
1 |
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1 |
22−1 |
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23−1 |
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23+1 |
3 |
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2n−1 |
1 | ||||||||||||||||
2n+1
作业帮用户
2017-09-19
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