若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N*），设Sn＝g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)（Ⅰ）求S1、S2、S3；（Ⅱ）求Sn；（III）设bn＝1Sn−1，求证数列{bn

Question

若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N^*），设Sn＝g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)
（Ⅰ）求S₁、S₂、S₃；
（Ⅱ）求S_n；
（III）设bn＝(1)/(Sn−1)，求证数列{b_n}的前n顶和Tn＜(3)/(2)．

Answer 1

（Ⅰ）S₁=g（1）+g（2）=1+1=2（1分）
S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6（2分）
S₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）
=1+1+3+1+5+3+7+1=22…（3分）
（Ⅱ）∵g（2m）=g（m），n∈N₊…（4分）
∴Sn＝g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n−1)+g(2n)
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2•2^n-1）]…（5分）
=((1+2n−1)•2n−1)/(2)+[g(1)+g(2)+…g(2n−1)]…（6分）
=4^n-1+S_n-1…（7分）
则Sn−Sn−1＝4n−1，
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁…（8分）
=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2
=(4(4n−1−1))/(4−1)+2＝(1)/(3)•4n+(2)/(3)…（9分）
（Ⅲ）bn＝(1)/(Sn−1)＝(3)/(4n−1)＝(3)/((2n)2−1)＝(3)/((2n−1)(2n+1))＝(3)/(2)((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))，…（10分）Tn＝(3)/(2)((1)/(21−1)−(1)/(2+1))+(3)/(2)((1)/(22−1)−(1)/(22+1))+(3)/(2)((1)/(23−1)−(1)/(23+1))+…+(3)/(2)((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1作业帮用户2017-09-19问题解析（Ⅰ）由对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，g（2m）=g（m）（m∈N*），S1=g（1）+g（2），S2=g（1）+g（2）+g（3）+g（4），S3=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8），能求出S1，S2，S3．（Ⅱ）由g（2m）=g（m），n∈N+，知Sn＝g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n−1)+g(2n)=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2n）]=[1+3+5+…+（2n-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2•2n-1）]，得Sn−Sn−1＝4n−1，由此能求出Sn．（Ⅲ）由bn＝(1)/(Sn−1)＝(3)/(4n−1)＝(3)/((2n)2−1)＝(3)/((2n−1)(2n+1))＝(3)/(2)((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))，用裂项求和法能证明数列{bn}的前n顶和Tn＜(3)/(2)．名师点评本题考点：数列与不等式的综合；数列的求和．考点点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)