已知f（x）=ln（ex+1）-ax是偶函数，g（x）=ex+be-x是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（Ⅲ）若不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m

Question

已知f（x）=ln（e^x+1）-ax是偶函数，g（x）=e^x+be^-x是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判断g（x）的单调性（不要求证明）；
（Ⅲ）若不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ln（e^x+1）-ax是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即f（-x）-f（x）=0，
则ln（e^-x+1）+ax-ln（e^x+1）+ax=0，
ln（e^x+1）-x+2ax-ln（e^x+1）=0，
则（2a-1）x=0，即2a-1=0，解得a=(1)/(2)．
若g（x）=e^x+be^-x是奇函数．
则g（0）=0，即1+b=0，
解得b=-1；
（Ⅱ）∵b=-1，∴g（x）=e^x-e^-x，则g（x）单调递增；
（Ⅲ）由（II）知g（x）单调递增；
则不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，
等价为f（x）＞m-x在[1，+∞）上恒成立，
即ln（e^x+1）-(1)/(2)x＞m-x在[1，+∞）上恒成立，
则m＜ln（e^x+1）+(1)/(2)x，
设m（x）=ln（e^x+1）+(1)/(2)x，
则m（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴m（x）≥m（1）=ln（1+e）+(1)/(2)，
则m＜ln（1+e）+(1)/(2)，
则实数m的取值范围是（-∞，ln（1+e）+(1)/(2)）．