已知函数f（x）=mex−2x−x2lnxx2（其中e为自然对数的底）在区间（0，2）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，记实数m的取值范围为区间I．（Ⅰ）求区间I；（Ⅱ）记g（m）=x1+x2，证明：函数y=g（m

Question

已知函数f（x）=(mex−2x−x2lnx)/(x2)（其中e为自然对数的底）在区间（0，2）上有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，记实数m的取值范围为区间I．
（Ⅰ）求区间I；
（Ⅱ）记g（m）=x₁+x₂，证明：函数y=g（m）在区间I上单调递减．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=((x−2)(mex−x))/(x3)，
∵x∈（0，2），∴x-2＜0，x³＞0，
∴x₁，x₂是方程me^x-x=0的两个不同的根，
即方程h（x）=(x)/(ex)，h′（x）=(1−x)/(ex)，
∴h（x）在（0，1]上递增，在[1，2]上递减，
又h（0）=0，h（1）=(1)/(e)，h（2）=(2)/(e2)，
∴I∈（(2)/(e2)，(1)/(e)）．
（Ⅱ）设m₁，m₂∈I，且m₁＜m₂，m₁，m₂对应的极值点分别是x₁，x₂和

x

′ 1

，

x

′ 2

，
∵h（x）=(x)/(ex)在区间（0，1]上递增，在[1，2]上递减，
∴0＜x₁＜

x

′ 1

＜1＜

x

′ 2

＜x₂，∴(x2)/(x1)＞(x′2)/(x′1)＞1，
又m₁ex1=x₁，m₁ex2=x₂，∴ex2−x1=(x2)/(x1)，
记(x2)/(x作业帮用户2017-10-21问题解析（Ⅰ）根据极值的意义，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，即可得出结论；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，结合函数单调性的定义加以证明．名师点评本题考点：利用导数研究函数的单调性．考点点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题，解决问题的能力及运算求解能力，逻辑性、综合性强，属于难题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)