双曲线1,已知双曲线x^2-y^2/2=1的焦点为F1、F2,点M在曲线上且MF1*MF2=0求点M到x轴的距离2,在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=1/2.tan∠MNP=-2,建立适当坐标系,求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程

Question

双曲线
1,已知双曲线x^2-y^2/2=1的焦点为F1、F2,点M在曲线上且MF1*MF2=0求点M到x轴的距离
2,在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=1/2.tan∠MNP=-2,建立适当坐标系,求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程

Answer 1

1、设M至X轴距离为h,向量MF1*MF2=0,|MF2|,|MF1|-|MF2|=2a=2,
根据勾股定理,MF2^2+(MF2+2)^2=(2√3)^2,
设|MF2|=x,x^2+(x+2)^2=12,x=√5-1,
|MF2|=√5-1,|MF1|=√5+1,
|MF1|*|MF2|=|F1F2|*h,
h=2√3/3.
2、tan∠PMN=1/2
tan∠MNP=-2,作PQ⊥MN,
PQ/NQ=tanPQ/MQ=tan设|MN|=m, NQ=m/3,|PQ|=2m/3,
根据勾股定理,
|PM|=2√5/3m,|PN|=m√5/3,
2a=|PM|-|PN|=m√5/3,
a=m√5/6,
c=|MN|/2=m/2,
S△PMN=|PQ|*|MN|/2=(2m/3)*m/2=m^2/3=1,
m=√3,
a=√15/6,
c=√3/2,
b^2=c^2-a^2=1/3,
双曲线方程为:x^2/(5/12)-y^2/(1/3)=1,
12x^2/5-3y^2=1.