已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f(x)g(x)=ax，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），（a＞0，且a≠1），f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=52.若数列{f(n)g(n)}的前n项和大于62，则n的最小值为（

Question

已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，(f(x))/(g(x))=

a

x

，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），（a＞0，且a≠1），(f(1))/(g(1))+(f(-1))/(g(-1))=(5)/(2).若数列{(f(n))/(g(n))}的前n项和大于62，则n的最小值为（　　）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

Answer 1

∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
∴[(f(x))/(g(x))]′=(f′(x)g(x)-f(x)g′(x))/(g2(x))＞0，即(f(x))/(g(x))单调递增，
又(f(x))/(g(x))=a^x，故a＞1．
所以由(f(1))/(g(1))+(f(-1))/(g(-1))=(5)/(2)，即a+a^-1=(5)/(2)，解得a=2．
所以数列{(f(n))/(g(n))}是以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn=(2(1-2n))/(1-2)=2（2ⁿ-1），
由Sn＞62即2（2ⁿ-1）＞62，解得n≥6，
所以n的最小值为6．
故选A．