用长为l的木板在地面上搭一斜坡,坡度为a,再把一小球放在斜坡顶处让他自动下滚.问用长为l的木板在水平地面上搭一斜坡,坡度为a,再把一小球放在斜坡顶处让他自动下滚.问斜坡为多少度时小

Question

用长为l的木板在地面上搭一斜坡,坡度为a,再把一小球放在斜坡顶处让他自动下滚.问
用长为l的木板在水平地面上搭一斜坡,坡度为a,再把一小球放在斜坡顶处让他自动下滚.问斜坡为多少度时小球在水平地面上滚的距离最远?

Answer 1

这题在中学阶段可用高中知识求解.
另外,题目中的a（我觉得是 α）是斜坡的倾角还是“坡度”?
以下我把题目中的a（α）当作斜坡的倾角来做,主要是把分析过程表达好.
分析：设球与斜面以及与水平地面间的动摩擦因数都是μ（为分析简单些）,小球在地面上运动的距离是S（速度就为0了）
则由动能定理　得
mgh－f1*L－f2*S＝0
式中　h是斜坡的高度,f1是小球在斜坡上受到的摩擦力大小,f2是小球在水平地面受到的摩擦力大小
h＝L*sinα　,f1＝μ*mg*cosα　,f2＝μ*mg
即　mgL*sinα－μ*mg*cosα*L－μ*mg*S＝0
得　S＝L*（sinα－μ*cosα）/ μ
显然,S是 α 的函数（L和μ是不变的）.
取　K＝根号（1＋μ^2）,那么
sinα－μ*cosα＝K *[（1 / K）*sinα－（μ / K）*cosα ]
＝K*（cosβ*sinα－sinβ*cosα）
其中　cosβ＝1 / K,sinβ＝μ / K　　,β是锐角
得　sinα－μ*cosα＝K*sin（α－β）
可见,在斜坡倾角 α 不可能超过90度的情况下,当　（α－β） 最大时,sinα－μ*cosα　的值最大,也是　S最大.即斜坡的倾角等于90度时（底端有一小圆弧与地面相连）,小球在水平地面上运动距离最大.
注：以上是结合数学知识做的.其实也可从物理的能量方面分析较简单,当斜坡倾角为90度时（当然要底端有一小圆弧与地面相连）小球在斜坡上没有机械能损失,且在初始时机械能最大,所以才能在水平地面运动距离最远.