设n（n≥3）阶矩阵A=1aa…aa1a…aaa1…a⋮⋮⋮…⋮aaa…1，若矩阵A的秩为n-1．则a必为（）A．1B．11−nC．-1D．1n−1

Question

设n（n≥3）阶矩阵A=

1	a	a	…	a
a	1	a	…	a
a	a	1	…	a
⋮	⋮	⋮	…	⋮
a	a	a	…	1

，若矩阵A的秩为n-1．则a必为（　　）

A．1
B．(1)/(1−n)
C．-1
D．(1)/(n−1)

Answer 1

∵|A|=

.

1	a	a	…	a
a	1	a	…	a
a	a	1	…	a
⋮	⋮	⋮	…	⋮
a	a	a	…	1

.

n

i＝1

ri

.

.

(n−1)a+1	a	a	…	a
(n−1)a+1	1	a	…	a
(n−1)a+1	a	1	…	a
⋮	⋮	⋮	…	⋮
(n−1)a+1	a	a	…	1

.

=[(n−1)a+1]

.

1	a	a	…	a
1	1	a	…	a
1	a	1	…	a
…	…	…	…	…
1	a	a	…	1

.

ri−r1(i＝n，n−1，…，2)[(n−1)a+1]

=

.

1	a	a	…	a
0	1−a	0	…	0
0	0	1−a	…	0
…	…	…	…	…
0	0	0	…	1−a

.

=（1-a）^n-1[（n-1）a+1]，
而：r（A）=n-1，
∴|A|=0，
即：（1-a）^n-1[（n-1）a+1]=0，
∴a=1或a＝(1)/(1−n)，
又当a=1时，显然r（A）=1，不符合题意，
∴a＝(1)/(1−n)，
故选：B．