在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作，再令，n≥1．(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和．

Question

在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作，再令，n≥1．
(I)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，求数列的前n项和．____

Answer 1

【分析】(I)根据在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故T_n=10ⁿ⁺²，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{a_n}的通项公式；
(II)根据(I)的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列{b_n}的每一项拆成的形式，进而得到结论．

(I)∵在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，
又∵这n+2个数的乘积计作T_n，
∴T_n=10ⁿ⁺²
又∵a_n=lgT_n，
∴a_n=lg10ⁿ⁺²=n+2，n≥1．
(II)∵b_n=tana_n•tana_n+1=tan(n+2)•tan(n+3)=，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=[]+[]+…+[]
=

【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键．