已知函数f（x）=ex-1（e是自然对数的底数）．（1）证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立；（2）数列{lnnn2}（n∈N+）的前n项和为Tn，求证：Tn＜n22(n+1)．

Question

已知函数f（x）=e^x-1（e是自然对数的底数）．
（1）证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立；
（2）数列{(lnn)/(n2)}（n∈N⁺）的前n项和为T_n，求证：T_n＜(n2)/(2(n+1))．

Answer 1

（I）设h（x）=f（x）-x=e^x-1-x
∴h'（x）=e^x-1-1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x=1时，h（x）取最小值h（1）=0．
∴h（x）≥h（1）=0，即f（x）≥x
（II）由（I）可知，对任意的实数x，不等式e^x-1≥x恒成立，
所以en2−1≥n2，lnen2−1≥lnn²，即n²-1≥lnn²，
1−(1)/(n2)≥(lnn2)/(n2)＝(2lnn)/(n2)，
(lnn)/(n2)≤(1)/(2)(1−(1)/(n2))＜(1)/(2)(1−(1)/(n(n+1)))=(1)/(2)(1−(1)/(n)+(1)/(n+1))
Tn＝(ln1)/(12)+(ln2)/(22)+(ln3)/(32)+…+(lnn)/(n2)
＜(1)/(2)[(1−1+(1)/(2))+(1−(1)/(2)+(1)/(3))+(1−(1)/(3)+(1)/(4))+…+(1−(1)/(n)+(1)/(n+1))]
=(1)/(2)[n−1+(1)/(n+1)]=(1)/(2)×(n2)/(n+1)=(n2)/(2(n+1))