已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2-6y+11）+f（x2-8x+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x2+y2的最小值与最大值分别为（）A.13、45B.9、45C.13、49D.9、49

Question

已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-6y+11）+f（x²-8x+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x²+y²的最小值与最大值分别为（　　）
A. 13、45
B. 9、45
C. 13、49
D. 9、49

Answer 1

由题意可得：函数f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，
又因为f′（x）=1+cosx≥0，
所以函数f（x）=x+sinx在R上是增函数．
因为f（y²-6y+11）+f（x²-8x+10）≤0，
所以f（y²-6y+11）≤-f（x²-8x+10）=f（-x²+8x-10），
所以y²-6y+11≤-x²+8x-10，即（x-4）²+（y-3）²≤4，
因为y≥3，所以此不等式表示以（4，3）为圆心，以2为半径的上半圆面．
根据x²+y²的几何意义是点（x，y）到原点的距离的平方可得：x²+y²的最小值与最大值分别为13、49．
故选C．