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已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=-f(x),且在区间[0,4]上是减函数则()A.f(10)<f(13)<f(15)B.f(13)<f(10)<f(15)C.f(15)<f(10)<f(13)D.f(15)<f(13)
题目详情
已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=-f(x),且在区间[0,4]上是减函数则( )
A. f(10)<f(13)<f(15)
B. f(13)<f(10)<f(15)
C. f(15)<f(10)<f(13)
D. f(15)<f(13)<f(10)
A. f(10)<f(13)<f(15)
B. f(13)<f(10)<f(15)
C. f(15)<f(10)<f(13)
D. f(15)<f(13)<f(10)
▼优质解答
答案和解析
∵f(x)为定义在R上的偶函数,
∴f(-x)=f(x),
∵f(x+4)=-f(x),
∴f(x+8)=-f(x+4)=-[-f(x)]=f(x),
∴周期T=8,
∴f(10)=f(2+8)=f(2),
f(13)=f(5+8)=f(5)=f(-5)=f(-5+8)=f(3),
f(15)=f(7+8)=f(7)=f(-7)=f(-7+8)=f(1),
∵f(x)在区间[0,4]上是减函数,
∴f(3)<f(2)<f(1),
f(13)<f(10)<f(15).
故选B.
∴f(-x)=f(x),
∵f(x+4)=-f(x),
∴f(x+8)=-f(x+4)=-[-f(x)]=f(x),
∴周期T=8,
∴f(10)=f(2+8)=f(2),
f(13)=f(5+8)=f(5)=f(-5)=f(-5+8)=f(3),
f(15)=f(7+8)=f(7)=f(-7)=f(-7+8)=f(1),
∵f(x)在区间[0,4]上是减函数,
∴f(3)<f(2)<f(1),
f(13)<f(10)<f(15).
故选B.
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