设函数φ（y）具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分∮Lφ(y)dx+2xydy2x2+y4的值恒为同一常数．（Ⅰ）证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有∮Cφ(

Question

设函数φ（y）具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分∮L(φ(y)dx+2xydy)/(2x2+y4)的值恒为同一常数．
（Ⅰ）证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有∮C(φ(y)dx+2xydy)/(2x2+y4)=0；
（Ⅱ）求函数φ（y）的表达式．

Answer 1

（I）将C分解为两段：C=l₁+l₂，另作一条分段光滑简单曲线l₃围绕原点且与C相接，
则 l₁+l₃ 与 l₂+l₃ 均为过原点的分段光滑简单曲线．
则有
I=∮C(φ(y)dx+2xydy)/(2x2+y4)
=

∮

l1+l2

(φ(y)dx+2xydy)/(2x2+y4)
=

∮

l1+l3

(φ(y)dx+2xydy)/(2x2+y4)-

∮

l2+l3

(φ(y)dx+2xydy)/(2x2+y4)
=0．
（II） 设P＝(φ(y))/(2x2+y4)，Q＝(2xy)/(2x2+y4)，则P和Q在单连通区域x＞0内具有一阶连续偏导数．
由（Ⅰ）知，曲线积分 ∫L(φ(y)dx+2xydy)/(2x2+y4) 在该区域内与路径无关，
故当x＞0时，总有
(∂Q)/(∂x)＝(∂P)/(∂y)． ①
因为 (∂Q)/(∂x)=(2y(2x2+y4)−8x2y)/((2x2+y4)2)=(−4x2y+2y5)/((2x2+y4)2)，
(∂P)/(∂y)＝

作业帮用户 2017-09-25

问题解析

（I）证明的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；（ II）中求ϕ（y）的表达式，显然应用积分与路径无关即可．

名师点评

本题考点：

第二类曲线积分的性质；平面上曲线积分与路径无关的条件．

考点点评：

本题综合性较强，考察了第二类曲线积分的性质以及平面上曲线积分与路径无关的条件，需要考生能够灵活运用．

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