如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1的直观图（图1）和三视图（图2），底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A1A=D1D=A1D1=1，M、N分别为A1D1、AD的中点．（Ⅰ）由三视图判断平面AA1D1D与平面ABCD的位置关系（

Question

如图，四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的直观图（图1）和三视图（图2），底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，M、N分别为A₁D₁、AD的中点．
（Ⅰ）由三视图判断平面AA₁D₁D与平面ABCD的位置关系（只需作出判断）
（Ⅱ）求证：BC⊥平面MNBB₁，
（Ⅲ）求二面角A₁-AB-D的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）由俯视图可知，侧面AA₁D₁D在底面的射影是一条线段，
所以平面AA₁D₁D与平面ABCD垂直．
（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，
M、N分别为A₁D₁、AD的中点．
所以NB⊥AD，则NB⊥BC，
由（Ⅰ）可知平面AA₁D₁D⊥平面ABCD，
所以N₁N⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD垂直，
所以BC⊥N₁N，又N₁N∩NB=N，
所以BC⊥平面MNBB₁
（Ⅲ）过A₁作A₁O⊥平面ABCD于O，过O作OP⊥AB于P，
连结A₁P，由三垂线定理可知，∠A₁PO为二面角A₁-AB-D的平面角，
底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，M、N分别为A₁D₁、AD的中点．
所以AO=(1)/(2)，OP=(√(3))/(4)，所以所求二面角的正切值为：((1)/(2))/((√(3))/(4))=(2√(3))/(3)．