如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，EF分别是B1B和D1D上的点，且BE=13BB1，DF=23DD1，证明：A、E、C1、F四点共面．

Question

如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF分别是B₁B和D₁D上的点，且BE=(1)/(3)BB₁，DF=(2)/(3)DD₁，证明：A、E、C₁、F四点共面．

Answer 1

证明：（证法一）∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BE=(1)/(3)BB₁，DF=(2)/(3)DD₁，
∴AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，BE∥D₁F，BE=D₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，
∠ABE=∠C₁D₁F，
∴△ABE≌△C₁D₁F，…（3分）
∴AE=C₁F，
同理AF=C₁E，
故AEC₁F为平行四边形，
∴A、E、C₁、F四点共面．…（6分）
（2）（法二）（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则C₁（0，0，3），F（1，0，2），A（1，1，0），E（0，1，1），…（2分）
∴

C1F

=（1，0，-1），

EA

=（1，0，-1），
∴C₁F∥EA，
∴A、E、C₁、F四点共面．…（6分）